Teoria dos Jogos: Exemplo de Teoria do Jogos

O Sears Tower (hoje chamado Willis Tower) em Chicago é um o prédio mais alto nos Estados Unidos. Isso dá ao edifício um status especial de prestígio, permitindo aos seus proprietários estabelecer valores de aluguel mais elevados do que outros escritórios semelhantes. Suponha que uma nova empresa (que vamos chamar de "Entrante") esteja pensando em construir um edifício ainda mais alto. Considere também que a empresa que tenha o edifício mais alto dos EUA ganhe um grande lucro, diminuindo o dos demais. Entretanto, o Sears (ou algum outro concorrente) pode construir outro prédio ainda mais alto, o que diminuirá substancialmente o retorno/lucro deste Entrante.

Didaticamente, este jogo é chamado de "jogo seqüencial" porque o Entrante escolhe em primeiro lugar, e o Sears saberá a escolha do concorrente antes de fazer sua decisão. O jogo pode ser modelado em uma árvore de decisão mostrada na figura 1, que mostra todas as opções possíveis e os resultados de cada opção. Para facilitar a explicação, para cada passo do jogo existe um número que representa um "nó".

Figura 1

Você pode ver que o Entrante (nó 1) deve decidir entre Entrar e Não Entrar nesse mercado, ou seja, construir uma torre mais alta ou não. Se escolher Não Entrar, o jogo termina no nó 2. Se escolher Entrar, então o Sears (nó 3) tem duas opções, Não Construir (nó 4) ou Construir um prédio maior (nó 5).

Os resultados (Payoffs) são necessários para que os jogadores tomem as suas decisões. Uma vez a Teoria dos Jogos envolve um raciocínio formal e lógico, precisamos pensar na "maximização da utilidade" em termos matemáticos.

Se Entrante não entrar, nada muda na situação atual - Sears recebe uma recompensa de 100, e o Entrante recebe zero (nó 2). Se o Entrante entrar e Sears não competir pela construção de uma torre ainda maior, então Entrante tem a vantagem e captura uma recompensa de 60, enquanto Sears recebe 40 (nó 4). Se o Sears construir um prédio mais elevado, então o Entrante perde dinheiro com um resultado de -50 e Sears obtem 30 (nó 5).

O Sears naturalmente quer que o Entrante não entre no mercado porque obtem o resultado de 100 (nó 2), mas esta decisão depende apenas do Entrante. Como é que o Entrante deve decidir?

Ele deve usar o conceito de indução retroativa (backward inducton), que é basicamente olhar para frente e raciocinar para trás. Alguns autores escrevem "mire no futuro e raciocine com o passado". Por exemplo, de trás para frente, olhando para as escolhas possíveis do Sears (último etapa), e assumindo que o Sears quer maximizar o seu retorno, o Sears vai preferir não construir um edifício maior, porque o retorno de 40 (não construir) é maior do que 30 (construir). O Entrante sabe que Sears vai pensar dessa maneira, então se escolher entrar, o seu resultado será de 60 (nó 4). Em seguida, o Entrante sabe que, se escolher Não Entrar (outro ramificação), ele vai ficar com zero. Se escolher Entrar, ele vai ficar 60. Consequentemente, o Entrante vai preferir Entrar e construir uma torre. O equilíbrio deste jogo (ou seja, o resultado previsto) é o nó 4.

Figura 2

Note que neste modelo existem muitas simplificações, uma vez que há muito mais alternativas na vida real. Por exemplo, o Entrante poderá construir um prédio pequeno, ou Sears poderia construir outra torre mesmo que o Entrante não entre, ou pode construir um pequeno edifício se o Entrante se entrar.

No entanto, esta simplificação é útil para explicar a dinâmica da Teoria dos Jogos na construção de cenários e como tomar decisões neste tipo de análise:
    - os jogadores possuem várias opções a decidir
    - para cada combinação de decisões há um resultado (lucro, receita ou qualquer utilidade)
    - os jogadores querem maximizar o resultado (dizemos que eles são "racionais")
    - todos conhecem as opções e o resultado de cada combinação (o chamado "conhecimento comum")
    - uma vez que há uma sequência de decisões (um espera o outro escolher a opção), via indução retroativa é fácil descartar as possibilidades, nó a nó, e entender a melhor opção de cada jogador
    - desta forma, o equilíbrio é o resultado final neste raciocínio.